一說(shuō)起圓周率π，很多人就想到祖沖之老爺子的割圓術(shù)。

說(shuō)實(shí)話，祖大人也挺無(wú)奈的，從我們小學(xué)就開(kāi)始割圓，一直割到大學(xué)還在割。

但割圓術(shù)只適合手算，如何用電腦算π呢？

泰勒展開(kāi)

泰勒展開(kāi)在科學(xué)計(jì)算中簡(jiǎn)直有著匪夷所思的變態(tài)威力。

之前我有一篇文章介紹了什么是泰勒展開(kāi)，它可以把復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)換成加減乘除，比如sinx：

之所以要展開(kāi)，是因?yàn)橥ㄓ糜?jì)算機(jī)本質(zhì)上只能計(jì)算加減乘除。

用泰勒展開(kāi)計(jì)算π

首先想到的思路就是，反三角函數(shù)，根據(jù)定義有：

那么，接下來(lái)的問(wèn)題就是，

如何計(jì)算arctan(1)

有人說(shuō)，直接調(diào)用C語(yǔ)言庫(kù)函數(shù)atan(double,double)不就行了。

確實(shí)，這可以完成計(jì)算，這是一種令人不齒的開(kāi)掛行為，就好像我問(wèn)怎么跑完馬拉松，你說(shuō)你開(kāi)車(chē)一溜煙就跑完了一樣。

庫(kù)函數(shù)是別人寫(xiě)好的，我們現(xiàn)在是思索如何實(shí)現(xiàn)計(jì)算，而不是考慮如何調(diào)用。

至此，我們只好請(qǐng)出祖?zhèn)髋浞剑補(bǔ)rctan(x)進(jìn)行泰勒展開(kāi)：

令x = 1，得到：

格雷戈里-萊布尼茨公式

它被稱為萊布尼茨級(jí)數(shù)，也被稱為格雷戈里-萊布尼茨級(jí)數(shù)，用以紀(jì)念萊布尼茨同時(shí)代的天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家詹姆斯·格雷戈里。

看起來(lái)很吊是不是······

但是啊但是，還不夠吊，因?yàn)閱?wèn)題還沒(méi)完：

這個(gè)級(jí)數(shù)收斂極慢。

比如，算到+4/9，也就是前五項(xiàng)，結(jié)果僅為3.3396，誤差有0.2之多。

它要到算500000項(xiàng)之后，才會(huì)精確到小數(shù)點(diǎn)后五位：

就算電腦也算得太累了。

何況萊布尼茲（1646年7月1日－1716年11月14日）當(dāng)年是沒(méi)有電腦的！

加快收斂

于是，人們嘗試改進(jìn)，希望能快點(diǎn)計(jì)算。

英國(guó)數(shù)學(xué)家梅欽在1706年用上面的級(jí)數(shù)，發(fā)掘了一個(gè)可以快速收斂的公式：

配合上面arctan(x)泰勒展開(kāi)，梅欽依據(jù)此公式（沒(méi)有電腦），把圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后一百多位。

英國(guó)數(shù)學(xué)家威廉·謝克斯花15年的時(shí)間以此計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后707位，不過(guò)在第528位時(shí)出錯(cuò)，因此后面的都不正確了。

微微杯具就是了。

神奇公式

現(xiàn)代有了電腦，我們希望更快的收斂速度，因此科學(xué)家在尋找新的級(jí)數(shù)。

歷史總是留給吊人的，也總是會(huì)生產(chǎn)一些吊人的。

比如：

拉馬努金公式

這玩意被稱為拉馬努金公式，是印度科學(xué)家拉馬努金發(fā)明的。

第一位用拉馬努金公式計(jì)算π并取得進(jìn)展的是比爾·高斯珀，他在1985年計(jì)算了小數(shù)點(diǎn)后一千七百萬(wàn)位。

收斂再快一點(diǎn)？還有楚德諾夫斯基公式：

楚德諾夫斯基公式

楚德諾夫斯基兄弟于1989年算得π小數(shù)點(diǎn)后10億（10?）位，法布里斯·貝拉于2009年算得2.7千億（2.7×1012）位，亞歷山大·易和近藤滋在2011年算得一萬(wàn)億（1013）位。

意不意外，驚不驚喜，

無(wú)不無(wú)聊······